Que es un vector

Existen varias definiciones para definir un vector por lo que en esta seccion nos centraremos mas en la definicion matematica, ya que estamos en la seccion matematica, si desea ver la definicion mas centrada en la fisica se le invita a salir de la seccion matematica y entrar al fisica para ver su definicion, dicho esto antes de entrar en la definicion primero se debe ver la definicion de espacio vectorial ya que un vector se define como un elemento de un espacio vectorial

Definicion De Espacio Vectorial Sobre El Conjunto De Los Reales

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vacio de objetos o elementos llamados (vectores) sobre el cual se han definido dos operaciones siendo estas la suma de dos objetos sean x,y dos objetos dentro del espacio vectorial y el producto de un objeto del espacio vectorial sea x este objeto por un a un numero real cualesquiera

Definicion De Producto Por Un Escalar : $\alpha (x_1,x_2,x_3,...x_n)=(\alpha x_1,\alpha x_2,\alpha x_{3,}...\alpha x_n)$ donde α pertenece a los reales

Definicion De Suma

$Sea V1(x_1,x_2,x_3,...x_n)+ V2 (y_1,y_2,y_3,...y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3,...x_n+y_n)$ donde V1 y V2 son dos elementos de el mismo espacio vectorial

ahora bien si este espacio vectorial ademas de satifaser la definicion de suma y producto antes planteadas satisface las 10 propiedades de campo siguiente se le considera un espacio vectorial dentro del campo de los reales ya que la definicion de producto y propiedades de campo se definieron con numeros pertenecientes al conjunto de los reales mas adelante se vera para numeros complejos

Antes de pasar a las propiedades se muestra como se representa un espacio vectorial en ${\mathrm{ℝ}}^n$ y es que el espacio vectorial suele tener la siguiente nomenclatura ${\mathrm{ℝ}}^n=\left\{\right(x_1,x_2,x_3,...x_n),x_n\in \mathrm{\mathbb{N}}\}$

Donde ${\mathrm{ℝ}}^n$ es el espacio vectorial y n nos dice los elementos que componen al espacio vectorial ejemplo ${\mathrm{ℝ}}^1$ tendia vectores de un elemento (x1) , ${\mathrm{ℝ}}^2$ tendria vectores de dos elementos (x1,x2) y asi sussesivamente de hai la importancia que n pertenesca al conjunto de los numeros naturales ahora si pasamos a las propiedades

1-Propiedad Conmutativa De La Suma

Expresion : $Sea V1=(x1,x2,x3,...xn) y V2 = (y1,y2,y3,...yn)$

$\Rightarrow (x1,x2,x3,...xn)+(y1,y2,y3,...yn) =(y1,y2,y3,...yn)+(x1,x2,x3,...xn)$

2-Propiedad Asociativa De La Suma

Expresion : $Sea V1=(x1,x2,x3,...xn) , V2 = (y1,y2,y3,...yn) , V3 = (z1,z2,z3,...zn)$

$\Rightarrow (x1,x2,x3,...xn) + \left[\right(y1,y2,y3,...yn) + (z1,z2,z3,...zn\left)\right] = \left[\right(x1,x2,x3,...xn) + (y1,y2,y3,...yn\left)\right] + (z1,z2,z3,...zn)$

3-Propiedad Del Neutro Aditivo

Expresion : $\forall V1=(x1,x2,x3,...xn) \exists un 0 = (0,0,0,...n=0)/$

$(x1,x2,x3,...xn)+(0,0,0,...n=0)=(x1,x2,x3,...xn)$

4-Propiedad Del Inverso Aditivo

Expresion : $\forall V1=(x1,x2,x3,...xn) \exists un (-V1)=(-x1,-x2,-x3,...-xn) /$

$(x1,x2,x3,...xn)+(-x1,-x2,-x3,...-xn)=(0,0,0,...n=0)$

5-Propiedad Distributiva Para El Producto Escalar Por La Suma En El Espacio Vectorial

Expresion : $Sea \alpha \in \mathrm{ℝ} y V1=(x1,x2,x3,...xn) , V2=(y1,y2,y3,...yn)$

$\Rightarrow \alpha \left[\right(x1,x2,x3,...xn)+(y1,y2,y3,...yn\left)\right]=\alpha (x1,x2,x3,...xn)+\alpha (y1,y2,y3,...yn)$

6-Propiedad De La Cerradura Para Un Producto Escalar

Expresion : $Sea \alpha \in \mathrm{ℝ} y V1=(x1,x2,x3,...xn) \in V$

$\Rightarrow \alpha (x1,x2,x3,...xn) \in V$

7-Propiedad Distributiva Para El Producto De La Suma De Dos Escalares Por Un Elemento Del Espacio Vectorial

Expresion : $Sea \alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ} y V1=(x1,x2,x3,...xn) \in V$

$\Rightarrow (\alpha +\beta )(x1,x2,x3,...xn)=\alpha (x1,x2,x3,...xn)+\beta (x1,x2,x3,...xn)$

8-Propiedad Asocoativa Del Producto De Dos Escalares Por Un Elemento Del Espacio Vectorial

Expresion : $Sea \alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ} y V1=(x1,x2,x3,...xn) \in V$

$\Rightarrow \alpha (\beta *(x1,x2,x3,...xn\left)\right)=(\alpha *\beta )(x1,x2,x3,...xn)$

9-Propiedad Neutro Multiplicativo

Expresion : $\forall V1=(x1,x2,x3,...xn) \exists 1=(1,1,1,...n=1) /$

$(x1,x2,x3,...xn)\left(1\right)=(x1,x2,x3,...xn)$

10-Propiedad De La Cerradura Para La Suma

Expresion : $Sea V1=(x1,x2,x3,...xn) , V2=(y1,y2,y3,...n) \in V$

$\Rightarrow (x1,x2,x3,...xn)+(y1,y2,y3,...yn) \in V$

Conclusion

Si el conjunto V cumple con las diez propiedades de campo de los espacios vectoriales y ademas satisface las definiciones de suma y producto para espacios vectoriales se dice que dicho conjunto V es un espacio vectorial, en la siguiente seccion seempezaran a ver las operaciones que se realizan en vectores ahora si dicho esto concluimos con la definicion de vector

Definicion De Vector En El Campo De Los

Se define al vector como aquel elemento que pertenece al espacio vectorial por lo que podria decirce que si V1=(x1,x2,x3,...xn) pertenece a V entonces V1 es un vector pero cabe resaltar que un vector puede ser cualquier cosa pero para aclarar mejor esto primero terminaremos las operaciones de vectores y la definicion de espacio vectorial en ele conjunto de los numeros complejos