Un Vector Se Compone Por :

Punto De Aplicacion U Origen : Es el punto del parte el vector

Modulo O Magnitud : Es la distancia que va del punto de origen del vector a la punta de este por asi llamarlo

Sentido : Es la orientacion del vector que nos dice si este va hacia arriba, abojo, derecha etc

Direccion : Es el angulo que forma el vector con respecto a la linea horizontal del plano que se toma como referencia

Linea De Accion : Es la recta que sobre la que se encuentra el vector

Abajo se muestra una ilustracion que indica de manera grafica los elementos de un vector, cabe resaltar que esta representacion es la que se suele usar en fisica ya que nos permite representar fuerzas de manera conveniente, tambien se avisa que la representacion es en dos dimenciones ya que hay en tres dimenciones y no se si haya en dimenciones superiores ya que tendrian que ser representados por representaciones

$Modulo (Norma De Un Vector) En {\mathrm{ℝ}}^n$

Bien cabe resaltar que solo definiremos las margnitudes de ${\mathrm{ℝ}}^1 a {\mathrm{ℝ}}^3$ ya que para dimenciones superiores dificilmente se estudiaran a no ser que este en una carrera de matematicas ahora biena para empezar veremos con que simbologia idicamos que estamos trabajando con la norma de un vector y son las siguientes : $\left|\overrightarrow{x}\right| , ||\overrightarrow{x}|| : Norma (Modulo, Magnitud O Longitud) De Un Vector$

Entonces cuando al vetor lo calocamos entre dos rayas o dobles rayas indicamos que queremos obtener su magnitud, dicho esto ahora pasemos a ver como se calculan y resulta que podemos calcular su magnitud con el teorema de pitagoras yaque si observo bien la ilustacion que indicaba los elementos de este seguramente asocio la magnitud de un vector con la hipotenusa de un triangulo regtangulo, entonces considerando de que el lector ya estudio antes geometria y trigonometria pasamos a el calculo del modulo en la dimencion 1

$Norma De Un Vector En {\mathrm{ℝ}}^1$

$Expresion : Si \overrightarrow{x} = \left(x1\right) \in V De {\mathrm{ℝ}}^1 entonces \left|\overrightarrow{x}\right|=\sqrt{{(x1-x1\text{'})}^2} = \sqrt{x{1}^2}$

Nota - Recuerdese lo siguiente primero lo que bimos en trigonometria y era que cuando uno de los catetos tendia a cero el otro cateto tendia al valor de la hipotenusa por lo que para vectores de una dimencion podemos decir que uno de los catetos vale cero y como consecuencia la hipotenusa es igual al otro cateto lo segundo es que x1 - x1' solo se aplica cuando el vector esta fuera del origen por lo que rara vez se usara la expresion $\left|\overrightarrow{x}\right|=\sqrt{{(x1-x1\text{'})}^2}$ ahora pasemos al ejemplo.

$Ejemplo Si \overrightarrow{x} = (-3) \in {\mathrm{ℝ}}^1 calcule su magnitud : \left|\overrightarrow{x}\right|$

$Proceso : \left|\overrightarrow{x}\right| = \sqrt{{(-3)}^2} = \sqrt{(-3)(-3)} = \sqrt{9} = 3$

Observaciones - Este ejemplo se hizo para recordar algo importante y es que la magnitud de un vector siempre es positiva ya que las distancias almenos en la vida real simpre son positivas

$Norma De Un Vector En {\mathrm{ℝ}}^2$

$Expresion : Si \overrightarrow{x} = (x1,x2) \in {\mathrm{ℝ}}^2 entonces \left|\overrightarrow{x}\right| = \sqrt{{(x1-x1\text{'})}^2 + {(x2-x2\text{'})}^2} = \sqrt{ x{1}^2 + x{2}^2}$

Nota - Esta expresion se usa en plano bidimencionales y lo mismo la expresion $\left|\overrightarrow{x}\right| = \sqrt{{(x1-x1\text{'})}^2 + {(x2-x2\text{'})}^2}$ se usa solo cuando el punto de aplicacion del vector esta fuera del origen lo cual es muy raro que pase y si llega a pasar podemos trasladar el vector al origen siempre y cuando no alteremos el sentido,magnitud o direccion lo mismo para tres dimenciones

$Ejemplo : Si \overrightarrow{x} = (2,5) \in {\mathrm{ℝ}}^2 calcule su magnitud : \left|\overrightarrow{x}\right|$

$Proceso : \left|\overrightarrow{x}\right| = \sqrt{{\left(2\right)}^2+{\left(5\right)}^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29} = 5.3851648....$

$Norma De Un Vector En {\mathrm{ℝ}}^3$

$Expresion :\hspace{0.17em}Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3) \in {\mathrm{ℝ}}^3 entonces \left|\overrightarrow{x}\right| = \sqrt{{(x1-x1\text{'})}^2+{(x2-x2\text{'})}^2+{(x3-x3\text{'})}^2} = \sqrt{x{1}^2 + x{2}^2 + x{3}^2}$

Nota - En este ejemplo veremos el caso en el que el punto de aplicacion esta fuera del origen y de paso explicamos algo importante y es que estos vectores fuera del origen se representan comunmente con dos letras y la flecha de arriba, pero las dos letras tiene un significado por asi decirlo y es que la primera nos dice el punto de origen o de aplicacion y la segunda letra el punto final del vector que vendria siendo la punta del vectos sis es que lo queremos ver como una flecha, pero esto quedara mas claro mas delante entonces.

$Ejemplo : Si \overrightarrow{xy} tine las cooredenadas x(1,2,5) , y(-2,3,1) calcule : \left|\overrightarrow{xy}\right|$

$Proceso : Si x es la primera letra entonces x(1,2,5)\to (x1,x2,x3) y y(-2,3,1)\to (x1\text{'},x2\text{'},x3\text{'}) y asi tenemos que$

$\left|\overrightarrow{xy}\right| = \sqrt{{(x1-x1\text{'})}^2+{(x2-x2\text{'})}^2+{(x3-x3\text{'})}^2} = \sqrt{{(1--2)}^2+{(2-3)}^2+{(5-1)}^2} = \sqrt{{(1+2)}^2+{(-1)}^2+{\left(4\right)}^2}$

$\left|\overrightarrow{xy}\right| = \sqrt{{\left(3\right)}^2+1+16} = \sqrt{9+17} = \sqrt{26} =5.0990195....$

Observaciones - Notese que el calculo del modulo de un vector puede complicarse cuando esta fuera del origen ahora bien puede que sea mas conveniente trasladar un vector al origen del plano ya que no solo agilisa el calculo de su modulo sino tambien fasilita el calculo de sus componentes pero se vera en breve

$Angulo De Un Vector \left(Direccion\right) En {\mathrm{ℝ}}^n$

En esta seccion veremos el angulo de los vectores en r y r3 ya que son los que se usan mas, asi mismo empezaremos con r2 ya que es mas facil de calcular

$Expresion : Si \overrightarrow{x} = (x1,x2) \in V de {\mathrm{ℝ}}^2 entonces \angle \overrightarrow{x} = Ta{n}^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{Cy}}{\overrightarrow{Cx}}\right) =\theta$

Para entender esto se hace referencia al calculo de los angulos de un triangulo rectangulo en el que se tenian que calcular las componentes rectangulares y calcular las componentes de y y x para proceceder a calcular el angumlo mediante funciones trigonometricas entonces viendo que un vector puede formar un triangulo rectangulo es intuitivo relacionar el calculo del angulo de un triangulo rectangulo con el de un vector

$Ejemplo : Si \overrightarrow{a} = (3,1) \in {\mathrm{ℝ}}^2 calcule : \angle \overrightarrow{x}$

$Proceso : \overrightarrow{a} = (3,1) Si p(x,y) entonces x=3,y=1 por lo \tan to la componente \overrightarrow{Cx} =3 y \overrightarrow{Cy} = 1$

$Asi que tenemos que \theta = Ta{n}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \leftrightarrow \theta =Ta{n}^{-1} (0.3333..) = 18.4349....={18}^{\circ }{26}^{\circ }5.82$

$Angulo De Un Vector En {\mathrm{ℝ}}^3$

A diferencia de la direccion o angulo de un vector en dos dimenciones, en tres dimenciones es considerablemente mas complejo ya que no solo existe un angulo sino que hay tres ya que el vector en tres dimenciones forma un angulo con cada uno de los ejes del plano tridimencional

$Expresion : Si \overrightarrow{t} = (x,y,z) \in {\mathrm{ℝ}}^3 entonces \alpha ,\beta ,\gamma \in \angle \overrightarrow{t} donde \alpha ,\beta ,\gamma son angulos directores$

$Usando la funcion \cos eno tenemos que : \alpha ={\cos }^{-1} \left(\frac{x}{\left|\overrightarrow{y}\right|}\right) , \beta ={\cos }^{-1}\left(\frac{y}{\left|\overrightarrow{y}\right|}\right) y \gamma ={\cos }^{-1}\left(\frac{z}{\left|\overrightarrow{y}\right|}\right) \in \angle \overrightarrow{t}$

$Linea De Accion De Un Vector En {\mathrm{ℝ}}^n$

Recordemos que uno de los teoremas de la geometria euclidiana era el siguiente "Si en una recta tenemos dos puntos colineales entonces dichos punto pertenece a una misma recta" entonces recordando esto anteriormente vimos que un vector de compone de un punto de aplicacion y una cabeza o punto final por lo que un vector pose dos puntos y gracias a esto podemos obtener la ecuacion de la recta en la que el vector esta contenido en ella, esto no parece muy util pero si lo es en especial si nesecitamos trasladar al vector sobre esa recta