Producto De Un Vector Por Un Escalar

La operacion vector por un escalar es una operacion que es sencilla ya que consiste en multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector es decir por cada elemento de este y el resultado es otro vector del mismo espacio vectorial.

Expresion : $Si \alpha \in \mathrm{ℝ} , \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,...xn) \in V de {\mathrm{ℝ}}^n$ $\Rightarrow \alpha \bullet (x1,x2,x3,...xn) = (\alpha x1,\alpha x2,\alpha x3,...\alpha xn)$

Ejemplo : $Si 5 \in \mathrm{ℝ} y \overrightarrow{x} = (2,4,6) \in V de {\mathrm{ℝ}}^3 : Calcule 5\bullet \overrightarrow{x}$

Proceso : $5\bullet (2,4,6) = (5\bullet 2,5\bullet 4,5\bullet 6) = (10,20,30)$

Suma De Vectores

La suma de vectores es de las operaciones mas simples que se pueden realizar con vectores ya que consiste en sumar las componentes de cada uno de los dos vectores respectivamente y como resultado se obtiene un vector de la misma dimencion que los dos primeros por lo que para que se pueda realizar la suma de dos vectores dichos vectores deben pertenecer al mismo espacio vectorial de la misma dimencion.

Expresion : $Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,...xn) , \overrightarrow{y} = (y1,y2,y3,...yn) \in V de {\mathrm{ℝ}}^n$

$entonces \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = (x1+y1,x2+y2,x3+y3,...xn+yn) \in V de {\mathrm{ℝ}}^n$

Ejemplo : $Si \overrightarrow{x} = (2,5,7) y \overrightarrow{y} = (1,3,2) \in V de {\mathrm{ℝ}}^3 calcule : \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}$

Proceso : $\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = (2,5,7) + (1,3,2) = (2+1,5+3,7+2) = (3,8,9)$

Resta De Vectores

La resta de vectores es igual de sencilla que la suma de vectores con la diferencia de que en la resta se suma el opuesto de cada componente del segundo vector asiendo alucion a la resta como la suma con el opuesto aditivo.

Expresion : $Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,...xn) , \overrightarrow{y} = (y1,y2,y3,...yn) \in V de {\mathrm{ℝ}}^n$

$entonces \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} = \overrightarrow{x} + (-\overrightarrow{y}) = (x1-y1,x2-y2,x3-y3,...xn-yn)$

Ejemplo : $Si \overrightarrow{x} = (3,5,1) , \overrightarrow{y} = (-2,4,6) \in {\mathrm{ℝ}}^n calcule : \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}$

Proceso : $\overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} = (3,5,1)-(-2,4,6) = (3--2,5-4,1-6)=(3+2,1,-5)=(5,1,-5)$

Producto Escalar Producto Punto O Producto Interior

El producto escalr tambien conocido como producto interno es aquella operecion en la que se multiplican dos vectores de la misma dimencion y que da como resultado un escalr de ahi el nombre abajo la expresion y el ejmplo

Expresion : $Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,...xn) , \overrightarrow{y} = (y1,y2,y3,...yn) \in V de {\mathrm{ℝ}}^n$

$entonces \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y} = (x1y1+x2y2+x3y3+...xnyn) = z \in \mathrm{ℝ}$

Ejemplo : $Si \overrightarrow{x} = (2,5,7) , \overrightarrow{y} = (2,4,1) \in V de {\mathrm{ℝ}}^3 calcule : \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y}$

Proceso : $\overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y} = (2,5,7) \bullet (2,4,1) = (2\bullet 2+5\bullet 4+7\bullet 1) = (4+20+7) = \left(31\right) = 31 \in \mathrm{ℝ}$

Propiedades Del Producto Escalar Producto Punto O Producto Interior

1 - Cuadrado De Un Vector Producto Punto

Expresion : $Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,...xn) \in V \Rightarrow \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{x} = {\left|\overrightarrow{x}\right|}^2$

Ejemplo :

2 - Propiedad Conmutativa Del Producto Punto

Expresion : $Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,...xn) , \overrightarrow{y} (y1,y2,y3,...yn) \in {\mathrm{ℝ}}^n$ $entonces \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y} = \overrightarrow{y} \bullet \overrightarrow{x}$

Ejemplo : $Si \overrightarrow{x} = (2,3,4), \overrightarrow{y} = (5,2,1) \in {\mathrm{ℝ}}^3 \Rightarrow \overrightarrow{y} \bullet \overrightarrow{x} = \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y}$ Aviso este ejemplo no sirve como demostracion formal

Proceso : $(2,3,4)\bullet (5,2,1) = (5,2,1) \bullet (2,3,4) \leftrightarrow (2\bullet 5+3\bullet 2+4\bullet 1) =(5\bullet 2+2\bullet 3+1\bullet 4) \leftrightarrow (10+6+4)=(10+6+4)$

$\to \left(20\right)=\left(20\right)\leftrightarrow 20=20 \therefore \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y} = \overrightarrow{y} \bullet \overrightarrow{x}$

3 - Propiedad Distributiva Del Producto Punto

Expresion : $Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,...xn) , \overrightarrow{y} = (y1,y2,y3,...yn) , \overrightarrow{z} = (z1,z2,z3,...zn) \in {\mathrm{ℝ}}^n$

$entonces \stackrel{\rightharpoonup }{x} \bullet (\overrightarrow{y} + \overrightarrow{z}) = \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y} + \overrightarrow{x}\bullet \overrightarrow{z}$

Ejemplo : $Si \overrightarrow{x} = (2,4,5) , \overrightarrow{y} = (4,2,2) , \overrightarrow{z} = (6,4,2) \in {\mathrm{ℝ}}^3 \Rightarrow \overrightarrow{x} \bullet (\overrightarrow{y} + \overrightarrow{z}) = \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y} + \overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{z}$

Proceso : $(2,4,5)\bullet \left[\right(4,2,2)+(6,4,2\left)\right] = (2,4,5)\bullet (4,2,2)+(2,4,5)\bullet (6,4,2) \leftrightarrow (2,4,5)\bullet \left[\right(10,6,4\left)\right] =(8+8+10)+(12+16+10)$

$(2,4,5)\bullet \left[\right(10,6,4\left)\right] = \left(26\right)+\left(38\right) \leftrightarrow (20+24+20)=26+38 \leftrightarrow \left(64\right) = 64 \leftrightarrow 64=64$

4 - Propiedad Asociativa Del Producto Punto Y Escalar

Expresion : $Si k \in \mathrm{ℝ} y \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,x...n) , \overrightarrow{y} = (y1,y2,y3,...yn)\in V entonces \left(K\overrightarrow{x}\right)\bullet \overrightarrow{y} = k (\overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y}) = \overrightarrow{x} (k\bullet \overrightarrow{y})$

Ejemplo :

Proceso :

5 - Propiedad Neutro Multiplicativo Del Producto Punto Y Escalar

Expresion : $Si \overrightarrow{0} , \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3,...xn) \in V entonces \overrightarrow{0} \bullet \overrightarrow{x} = 0$

Ejemplo :

Proceso :

$Angulo Entre Dos Vectores De {\mathrm{ℝ}}^2 a {\mathrm{ℝ}}^3$

Para explicar rapido la idea de esto se hace referencia al angulo entre rectas recuerdese que en geometria analitica el angulo entre dos recta era el angulo que formaba la interseccion de dos rectas entonces el angulo entre vectores es el angulo que forman dos vectores

$Expresion : Si \overrightarrow{x} = (x1,x2) , \overrightarrow{y} = (y1,y2) \in {\mathrm{ℝ}}^2 entonces \angle \overrightarrow{x} \overrightarrow{y} = \cos \theta = \frac{\overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y}}{\left|\overrightarrow{x}\right|\left|\overrightarrow{y}\right|}$

$Ejemplo para {\mathrm{ℝ}}^2 : Si \overrightarrow{x} = (3,5) , \overrightarrow{y} = (-1,3) \in {\mathrm{ℝ}}^2 calcule el angulo que forman dichos vectores$

$Proceso : \cos \theta = \frac{\overrightarrow{x} \bullet \overrightarrow{y}}{\left|\overrightarrow{x}\right|\left|\overrightarrow{y}\right|} \leftrightarrow \cos \theta = \frac{(3,5)\bullet (-1,3)}{\left|\overrightarrow{x}\right|\left|\overrightarrow{y}\right|} \leftrightarrow \cos \theta = \frac{(3*-1+5*3)}{\left|\overrightarrow{x}\right|\left|\overrightarrow{y}\right|}\leftrightarrow \cos \theta = \frac{(-3+15)}{\left|\overrightarrow{x}\right|\left|\overrightarrow{y}\right|}\leftrightarrow \cos \theta = \frac{\left(12\right)}{\sqrt{{\left(3\right)}^2+{\left(5\right)}^2}\sqrt{{(-1)}^2+{\left(3\right)}^2}}$

$\to \cos \theta = \frac{12}{\sqrt{9+25}\sqrt{1+9}} \leftrightarrow \cos \theta = \frac{12}{\sqrt{34}\sqrt{10}} \leftrightarrow \cos \theta = \frac{12}{\sqrt{34*10}}\leftrightarrow \cos \theta = \frac{12}{\sqrt{340}}\leftrightarrow \theta ={\cos }^{-1} \frac{12}{\sqrt{340}}\leftrightarrow \theta =49.398705.....={49}^{\circ } {23}^{\circ } 55.34$

Observaciones - Si de casualidad tuvo dudas en por que la raiz de 10 y 34 se multiplicaron dentro de ottra raiz, se debe a una propiedad de los radicales que nos dice producto de raices de indices iguales es igual a otra raiz del mismo indice con radicando igual producto de los radicando ota observacion es el angulo se calculo con calculadora esto para no extender mas el proceso

$Expresion : Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3) , \overrightarrow{y} = (y1,y2,y3) \in {\mathrm{ℝ}}^3 entonces \angle \overrightarrow{x}\overrightarrow{y} = \cos \theta = \frac{\overrightarrow{x}\bullet \overrightarrow{y}}{\left|\overrightarrow{x}\right|\left|\overrightarrow{y}\right|}$

$Ejemplo para {\mathrm{ℝ}}^3 : Si \overrightarrow{x} = (x1,x2,x3) , \overrightarrow{y} = (y1,y2,y3) \in {\mathrm{ℝ}}^3 calcule : \angle \overrightarrow{x}\overrightarrow{y}$

$Producto Vectorial Y Sus Propiedades$

Primero definamos el producto vectorial, pero antes resaltemos algo importante y es que al querer representar un producto cruz debemos tener cuidado con el simbolo ya que para representar esta operacion se utiliza una x pero notese que esto es muy importante ya que si en vez de colocar la cruz colocamos un punto se entendera que es un producto punto y no un producto cruz, ahora si pasamos a su definicion

$Si \overrightarrow{x} = (x1x,x2y,x3z) , \overrightarrow{y} = (y1x,y2y,y3z) \in {\mathrm{ℝ}}^3 entonces \overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} =(x2y3-x3y2)x-(x3y1-x1y2)y+(x1y2-x2y1)z$

Esta expresion puede ser confusa por lo que mostraremos otra forma con la que tambien se expresa notese que con algo llamado determinantes pdemos calcular el producto cruz sin memorizar esta expresion pero se vera mas adelante